彼岸's Blog
日常 of 彼岸

 ㅎㅎㅎ 간결하면서도 그럴듯 하네요 

http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/index.html

이 사이트에 들어가보면, 다양한 결정구조의 형태도와 XYZ 포맷의 포지션 정보를 제공합니다.

XYZ 포맷은, 다음과 같은 매우 간단한 구조로 구성되어 있습니다.

원자/분자 개수

원자/분자 이름    X position    Y position    Z position

.

.

.

예) Diamond의 XYZ 정보

 18
C      4.01625000     0.44625000     0.44625000
C      0.44625000     0.44625000     0.44625000
C      2.23125000     2.23125000     0.44625000
C      4.01625000     4.01625000     0.44625000
C      2.23125000     0.44625000     2.23125000
C      4.01625000     2.23125000     2.23125000
C      3.12375000     1.33875000     1.33875000
C      4.01625000     0.44625000     4.01625000
C      0.44625000     4.01625000     0.44625000
C      0.44625000     2.23125000     2.23125000
C      2.23125000     4.01625000     2.23125000
C      1.33875000     3.12375000     1.33875000
C      0.44625000     0.44625000     4.01625000
C      2.23125000     2.23125000     4.01625000
C      1.33875000     1.33875000     3.12375000
C      4.01625000     4.01625000     4.01625000
C      3.12375000     3.12375000     3.12375000
C      0.44625000     4.01625000     4.01625000

참고자료 : http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.89.7835&rep=rep1&type=pdf


Hydro carbon 등의 원자거동을 모사하기 위하여 사용되는

REBO 포텐셜 함수는 Brenner에 의하여 1990년에 처음 제안되었고

몇가지 문제를 해결하여 2002년에 수정안이 발표되었습니다.

이를 2nd REBO라고들 부르는데, 2nd REBO는 1st REBO에 비하여

훨씬 더 복잡해졌습니다 -_-;; 계산시간도 훨씬 늘어났고;;;; ㄷㄷㄷ

거두절미하고,

REBO를 사용할 때, 가장 귀찮은 것은 Tricubic spline 을 이용한 커브 피팅이었습니다.

Bicubic, Tricubic spline 함수를 여러개 사용하는 REBO 함수의 특성상

이러한 문제를 비켜갈 수는 없었고, 공부를 시작하다보니....

평소에 보간법을 써본일이 없어서 1차원적인 spline 까지는 쉽게 접근할 수 있었지만

3차원까지 넘어가니 정신이 없더군요^^;;;


게다가 함수의 매개변수로 활용되는 i, j, k 가 0~9까지 범위를 가지는 관계로 최대 9x9x9 =729 개의 공간에 대하여

각각 다른 보간공식을 적용해야 한다는 아주 복잡한 문제에 봉착하게 됩니다.

(물론, i, j 는 3 이상일 경우 3일때와 동일한 값을 갖도록 설정되기 때문에

실제로는 3x3x9 = 81 개의 공간으로 분할되는 것과 같습니다.)


게다가 임의의 점 (i, j, k)에서의 값 F(i,j,k)를 구하기 위해서는 총 64개의 계수가 필요합니다.

(0,0,0) - (1,1,1) 까지의 공간에서 경계조건을 잡고 계산하기 위하여 그림 1과 같이

각 꼭지점(P1~P8)에서의 값 F(1)~F(8) , 총 8개, 그리고 각 꼭지점에서의 x,y,z 성분에 의한

미분값들 등으로 이루어진 64개의 값과 이를 역변환 시켜줄 64x64 크기의 행렬이 요구됩니다.

그림 2. 각 꼭지점 8개에 대하여 경계조건으로 사용될 8개의 계산식. 총 64개의 값이 필요



 

자... 여기까지 설명하고 보니, 굉장히 복잡해졌네요

우선,  Tricubic spline의 기본형인 Cubic spline 부터 살펴볼 필요가 있습니다.

그림 3에서 보는 바와 같이

가장 쉽게 생각할 수 있는 보간법은 두 지점을 직선으로 연결하여 그 중간의 임의의 지점에서의

값을 내분공식을 이용해 구하는 것입니다. (이런 방법은 선형 보간법입니다)

그러나 이 방법은 각 구간에 대하여 연속조건은 만족시킬 수 있지만, 경계조건에서

부드럽게 연결되지 못하는 다소 비현실적인 결과를 도출하는 문제를 지니고 있습니다.

따라서 이와 같은 문제를 해결하기 위해서는 1차식이 아닌 고차식의 보간법이 요구됩니다.

고차 다항식에 의한 보간법 ( n th order polynomial ) 등의 방법을 활용하면 각 경계조건에서

부드럽게 연결되는 결과를 확보할 수 있게 됩니다.

그림 3. 보간법의 기본적 개념

음. 바쁜 관계로 나머지 내용은 차후에 조금 씩 더 업뎃 하겠습니다^^;

To be continued......